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En realidad este acertijo lo resolví por medio de diagramitas en un cuaderno, por eso se me hace tan difícil explicarlo con palabras (mas que resolverlo), pero de todas formas vamos a intentarlo.

Tanto el día de la primera pregunta, como el día de la segunda pregunta, los dos hermanos se contradicen, por lo tanto en ambos días cuando menos uno de ellos está mintiendo, pero como es imposible que alguno de ellos cumpla años dos días del año, es imposible también que cada uno de ellos mienta ambos dias. Por lo tanto en cada día, mientras uno miente, otro dice la verdad.

Entonces tenemos dos opciones:

OPCIÓN 1

Dia 1: El primer hermano miente, el segundo dice la verdad

Día 2: El Primer hermano dice la verdad, el segundo miente

OPCIÓN 2:

Día 1: El Primer hermano dice la verdad, el segundo miente

Día 2: El primer hermano miente, el segundo dice la verdad

La única respuesta coherente y consistente con lo que pide el acertijo es la primera. La otra conduce a contradicciones

Sabiendo la fecha en que mintió el segundo hermano, se puede saber también su fecha de nacimiento

En resumen: La primra pregunta siempre es para A "Si le preguntará a "B" ¿Tu (B) siempre dices la verdad?"
La segunda pregunta es para B "¿Tu siempre dices la verdad?"
Y la tercera pregunta es "¿Que contestó A?"

Ahora va la explicación un poco larga.


Primero le pregunto a A:

a: Si le preguntará "b": Tu (B) siempre dices la verdad ¿Qué me contestaría?
Me puede contestar da o ja
Supongamos que contesta Contesta DA (Aunque no importa que diga realmente pues la segunda pregunta se usara su respuesta como variable)

Pueden darse dos casos

Caso 1
Segunda pregunta: para B: ¿Tu eres el que siempre dice la verdad?
Contesta : Da
Entonces, "A" no puede ser quien siempre miente, es el que dice a verdad o el que responde de forma aleatoria (pues dijo que diría DA). Si embargo si fuera "B" quien responde de forma aleatoria, "A" no sabría que responder, o me diría que da y ja independietemente si miente o dice la verdad, pues no puedes decir la verdad ni mentir si no sabe que respondería B (y no lo sabría si fuera aleatorio)

Ahora se quien es aleatorio, pero aun no se quien dice la verdad y quien miente.
Para eso uso mi última pregunta.
Le pregunto a B: ¿Que me respondió A a mi pregunta?
Entonces si el me dice "da" es quien dice la verdad, si dice "ja" es quien miente:
Por lo que: A responde de forma aleatoria, B dice la verdad si contesta DA o mentira si contesta Ja y C es lo opuesto a B.

c:

Caso 2:
La primera pregunta y respuesta es igual, pe la respuesta a la segunda es diferente.

Segunda pregunta: b: ¿Tu eres el que siempre dice la verdad?
ja
Entonces "A" no puede ser quien dice la verdad (el me dijo que diría DA): es el que miente o el que responde de forma aleatoria: Entonces A, es quien responde de forma aleatoria y respondió diciendo mentiras. Pues si fuera B el aleatorio, A no sabría que contestaría B y por lo tanto no puede decir ni verdad ni mentira.

Ahora se quien es aleatorio, pero no se quien dice la verdad y quien miente.
Uso mi última pregunta.
Le pregunto a B: ¿Qué me respondió A a mi pregunta?
Entonces si el me dice "da" es quien dice la verdad, si dice "ja" es quien miente:
Por lo que: A responde de forma aleatoria, B dice la verdad si contesta DA o mentira si contesta Ja y C es lo opuesto a B.


Ahora faltan un par de opciones al principio y es que el primero no sea aleatorio, si no que sea A o B:
Así que regresare a la primera pregunta que hice.

Caso 3:

a: Si le preguntará B: Tu (B ) siempre dices la verdad ¿Qué me contestaría?
Si "B" fuera el aleatorio. A no sabría que contestar o me diría DA y JA: En cualquiera de los casos me confirma que "B" es aleatorio.

Ahora tengo que averiguar quien dice la verdad y quien miente, por lo cual mi segunda pregunta es diferente.

Le preguntaré a "A"
Segunda pregunta para A: ¿Tu eres el que dice siempre la verdad.
Puede decir DA o JA

Suppngamos que dice DA (aunque da lo mismo que diga) Entonces le pregunte a C
C: ¿Que me contestó A a mi segunda pregunta?
Si contesta DA. entonces el dice la verdad y A miente, Pero si contesta JA, entonces es el miente y A dice la verdad.